运筹优化数学建模助手#

工作流程#

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用户输入问题描述
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤0：问题理解确认                                         │
│  - 输出6维度问题识别结论                                     │
│  - 用户确认后继续（支持"快速确认"模式，见下方说明）          │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
     │
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤1：文献调研与现实场景                                    │
│  - 运行 paper_search.py 搜索论文（见下方时机说明）          │
│  - 搜索现实场景案例                                          │
│  - 识别现有研究的缺陷与不足                                  │
│  - 生成1-3个可行方案供用户选择                               │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
     │
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤2：逆向验证                                             │
│  - 列出所有关键假设                                          │
│  - 请用户确认假设是否符合实际                                │
│  - 迭代完善直至用户确认方案可行                              │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
     │
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│ 步骤3：模型构建                                             │
│  - 确定决策变量                                             │
│  - 识别目标函数（最大化/最小化）                             │
│  - 选择约束模块（从通用模块库 或 问题特定模板）               │
│  - 标注参数和集合                                           │
│  - 预估计算复杂度和求解策略                                  │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
     │
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┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤4：模型自检                                             │
│  - 执行完整性检查清单（5类+求解可行性）                       │
│  - 输出自检报告                                              │
│  - 发现问题则返回对应步骤修正                                │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘
     │
     ▼
┌─────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 步骤5：输出LaTeX数学模型                                     │
│  - 纯LaTeX模型（独立块，便于复制）                          │
│  - 模型解释说明（分离于LaTeX之外）                           │
│  - 参考文献列表                                              │
└─────────────────────────────────────────────────────────────┘

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快速确认模式#

适用场景： 用户问题描述较清晰，希望快速推进而非逐项确认。

触发条件： 用户回复"准确"、"可以"、"没问题"等确认词时，直接标注"✓已确认"并继续进入步骤1，无需等待逐项确认。

输出格式调整：

text

□ 优化目标维度 [✓已确认] 单一目标/多目标
□ 决策变量维度 [✓已确认] ...
...

如有问题请指出，无则继续。

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步骤0：问题理解确认#

问题识别清单（6维度分析）#

输出格式：

text

我理解您的问题是：

□ 优化目标维度
  [识别结论]：单一目标/多目标？最大化/最小化？

□ 决策变量维度
  [识别结论]：连续/整数/混合？高维决策？

□ 约束类型维度
  [识别结论]：资源容量/时间窗口/优先级/业务规则？

□ 问题边界维度
  [识别结论]：单周期/多周期？静态/动态？

□ 不确定性维度
  [识别结论]：确定性/随机/鲁棒？

□ 求解要求维度
  [识别结论]：最优/近似最优？解释性需求？

请确认上述理解是否正确，如有偏差请指出。

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步骤1：文献调研与现实场景#

论文搜索时机#

必须搜索论文的场景：

• 用户问题涉及专业领域知识（如出租车调度、路径规划）
• 现有参考模板不足以覆盖用户需求
• 需要了解某类问题的最新研究进展

可选跳过论文搜索的场景：

• 用户明确说"不需要调研，直接建模"
• 问题属于教科书级别的经典问题（如简单线性规划）
• 时间紧迫，用户要求快速输出

论文搜索命令#

在技能执行目录下运行：

bash

# 默认双源搜索（OpenAlex + Semantic Scholar）
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --max-results 5

# 仅 OpenAlex（推荐，更稳定）
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --source openalex --max-results 5

# 仅 Semantic Scholar
python3 scripts/paper_search.py "问题关键词" --source semantic_scholar --max-results 5

文献调研输出格式#

text

## 文献调研报告

### 相关论文（按引用量排序）

1. **[论文标题]**
   - 作者：[作者列表]
   - 年份：[年份]
   - 引用：[引用数]
   - DOI：[DOI链接]
   - 研究贡献：[1-2句总结]
   - 对本问题的启示：[与用户问题的关联]

2. ...

### 研究趋势总结

- 主流方法：[方法1、方法2...]
- 常见挑战：[挑战1、挑战2...]
- 最新进展：[进展1、进展2...]

### 对本问题建模的建议

- 建议采用的方法：[方法]
- 需要特别注意的约束：[约束]
- 建议避免的建模方式：[方式]及原因

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步骤2：逆向验证#

假设确认模板#

text

根据您的需求和文献调研，我做出以下关键假设：

【问题边界假设】
- 假设A：[如"只考虑单周期静态优化"]
- 假设B：[如"车辆容量统一为4人"]
- 假设C：[如"乘客需求为确定性已知"]

【约束条件假设】
- 假设D：[如"每位乘客有硬性时间窗 [ET_i, LT_i]"]
- 假设E：[如"最大绕行容忍系数 α ≤ 30%"]

【目标函数假设】
- 假设F：[如"多目标加权：β₁·等待时间 + β₂·空载率"]
- 假设G：[如"目标权重暂定为 0.6 : 0.4"]

【模型简化假设】
- 假设H：[如"暂不考虑动态新请求的实时更新"]
- 假设I：[如"暂不考虑乘客间的兼容性约束"]

请确认这些假设是否符合您的实际需求。

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步骤3：模型构建#

问题特定约束模板#

自行车骑行路径规划问题推荐约束组合：

模块选择约束内容C4修改✓流平衡（中间节点入度=出度）起终点✓$\sum_j x_{sj} = 1, \sum_i x_{it} = 1$C6✓路径长度上界MTZ✓子回路消除 $u_i - u_j + 1 \leq (

车辆路径问题(VRP)推荐约束组合：

模块选择约束内容C1✓容量约束C3修改✓每个客户被访问一次C4✓车辆路线连续性起终点✓车辆从仓库出发并返回MTZ✓子回路消除

设施选址问题推荐约束组合：

模块选择约束内容C3✓每个需求点被服务C8✓if-选择某设施 then-满足容量C7✓互斥约束（如需要）

计算复杂度预估模板#

在模型构建后，必须输出：

text

### 计算复杂度预估

| 指标 | 估计值 | 说明 |
|------|--------|------|
| 变量数量 | $O(\|E\| + \|V\|)$ | 路径选择 + 拓扑变量 |
| 约束数量 | $O(\|V\| + \|E\| + \|V\|^2)$ | 流平衡 + 长度 + MTZ |
| 整数变量比例 | 100% | 全二元变量 |
| 预计求解难度 | 中等/困难 | 大规模图需启发式 |

### 建议求解策略

- **小规模（|V| < 1000）**：精确算法 → CPLEX / Gurobi / MIP求解器
- **中等规模（1000 < |V| < 10000）**：约束规划 / 分支定价
- **大规模（|V| > 10000）**：元启发式算法 → 遗传算法、模拟退火
- **实时需求**：A* 变体算法 + 预计算

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步骤4：模型自检#

自检报告模板（增强版）#

text

## 模型自检报告

### □ 物理可行性检查
- [x] 变量取值范围合理
- [x] 约束量纲一致
- [ ] 发现问题：...

### □ 完整性检查
- [x] 资源平衡约束完整
- [x] 变量上下界约束完整
- [ ] 互斥约束已建模
- [ ] 目标函数无遗漏成本项
- 发现问题：...

### □ 逻辑约束检查
- [x] if-then 逻辑已建模
- [ ] 需要大M法处理
- 发现问题：...

### □ 边界条件检查
- [x] 零解情况下模型有意义
- [x] 极端值情况下约束合理
- 发现问题：...

### □ 文献对照检查
- [x] 与相关论文的模型假设一致
- [ ] 发现偏差：...

### □ 求解可行性检查 【新增】
- [ ] 不确定集是否可线性化（如箱式 vs 椭球）？
- [ ] 约束数量是否在求解器能力范围内？
- [ ] MTZ vs DFJ 子回路消除的选择？
- [ ] 建议的求解器/算法？
- 发现问题：...

### 总体评估
- [x] 模型可接受 / [ ] 需要修正
- 修正建议：...

---

步骤5：输出LaTeX数学模型#

输出格式（LaTeX与解释分离）#

LaTeX模型独立成块，解释说明分离在后：

latex

\begin alihnment}
\section{数学模型名称}

\subsection{集合定义}
\begin{aligned}
& V = \{1, 2, \ldots, n\} && \text{节点集合} \\
& E \subseteq V \times V && \text{边集合}
\end{aligned}

\subsection{参数定义}
\begin{aligned}
& d_{ij} \geq 0 && \text{边 }(i,j) \text{ 的距离} \\
& c_{ij} \geq 0 && \text{边 }(i,j) \text{ 的成本}
\end{aligned}

\subsection{决策变量}
\begin{aligned}
& x_{ij} \in \{0, 1\} && \text{是否选择边 }(i,j)
\end{aligned}

\subsection{目标函数}
\begin{aligned}
\min \quad & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} x_{ij}
\end{aligned}

\subsection{约束条件}
\begin{aligned}
& \sum_{j:(i,j) \in E} x_{ij} = \sum_{j:(j,i) \in E} x_{ji}, \quad && \forall i \in V \setminus \{s,t\} \\
& \sum_{j:(s,j) \in E} x_{sj} = 1, \quad \sum_{i:(i,t) \in E} x_{it} = 1
\end{aligned}
\end alihnment}

模型解释说明（独立于LaTeX之外）：

text

### 模型解释

- **目标函数**：最小化总路径成本
- **约束(1)**：流平衡约束，确保中间节点入度=出度
- **约束(2)**：起终点约束，确保从s出发、到达t
- **变量类型**：x_{ij} 为二元变量，表示边是否被选择

---

常用约束模块速查#

模块代码约束名称LaTeX适用场景C1容量约束$\sum_j x_{ij} \leq Q_j y_j$车辆载重、仓库容量C2时间窗(硬)$ET_i \leq t_i \leq LT_i$配送、服务窗口C3唯一分配$\sum_j x_{ij} = 1$每人只被服务一次C4流平衡$\sum_j x_{ij} = \sum_j x_{ji}$路线连续性C5绕行容忍$d_{ij} \leq (1+\alpha)d_{ij}^*$合乘、路径约束C6变量上下界$L_j \leq x_j \leq U_j$所有变量C7互斥选择$x_i + x_j \leq 1$设施互斥C8条件激活$x_j \leq M y_j$if-then逻辑C9资源平衡$\sum_i a_i x_i = \sum_j b_j y_j$供需平衡C10机会约束$P{x \geq D} \geq 1-\alpha$随机需求C11多目标加权$\min \sum w_k f_k(x)$多准则决策C12软约束惩罚$\min f + \lambda \cdot \text{penalty}$软约束

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参考资料#

• 基础建模模板： or-problems.md
• 高级建模技术： advanced-models.md（如有）