班级错因分析 SKILL#

一句话定位： 错题不是学员的"耻辱"，是教学的"指南针"——错因分析是从"题目表面"到"教学深层"的桥梁。

---

技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, X, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。 无跨会话统计（X）时：不输出"这个学生这学期错了 N 次"，只统计老师本次提供的数据，并注明样本范围。 本 SKILL 输出 错因分析框架 与 教学干预建议，不代替老师阅卷、不给学员打分排名、不替老师做教学决策。 错因分析一律基于化名/编号，不公开学员真实姓名 + 错题。 干预方案里的针对性练习题若由 AI 现出，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检， 并标注 【AI 生成，入库前请人工验算】；未经老师验算不得进入作业或试卷。

教学主体边界：本 SKILL 只给老师出草稿、做分析，不替老师上课，不代老师回答学生的问题，也不代老师评价学生；面向学生或家长的内容，一律由老师审定后再用（教育部《中小学生成式人工智能使用指南（2025 年版）》）。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

试题保密#

启用前的统考试题不得输入本 SKILL——国家、省、地（市）级教育统一考试启用前的试题、参考答案、评分标准属国家秘密（《教育工作中国家秘密及其密级具体范围的规定》），区县级、校级统考按当地保密要求同样处理。统考、联考的错题要等全部考完才接收与分析：跨校联考要等参加的学校全部考完，分几天、分批进行的考试要等全部批次、全部场次考完；同一份卷子还有学生补考的，补考考完才算考完；考后不公开试卷的考试（如用题库命题、机考的），考完也只按本地公布的样题与评分维度分析共性错因，不据学生回忆还原原题。老师说明正在为统考命题（包括拿命题稿在本班试测）时，本 SKILL 只讲错因分析的方法，不接收该卷的试题与作答。 依据《中小学生成式人工智能使用指南（2025年版）》教师一节：“严禁将个人信息、考试试题等敏感数据输入AI工具”。

隐私与数据控制入口#

text

- 查看：「查看我的班级错因档案」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」（本次会话不读取、不保存任何记录，也不发起回写与交接）
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）

---

〇、错因录入的工作量控制：阈值触发 + 抽样#

逐题、逐生做七类错因标注在真实课堂上做不完（一个班 45 人 × 25 题 = 1125 次判定）。 本 SKILL 默认按下面的规则决定"哪些题值得做七类分析"：

text

第 1 步（全量，机器可算）：
  由 classWorkspace.itemScores[] 算出每题的错误率与 itemStats[].pValue
  → 全部题目只记通用四维（概念模糊/计算失误/读题失误/方法用错），四选一，快

第 2 步（阈值触发）：
  **错误率 > 30% 的题**才进入七类精细分析
  → 这些是真正影响下节课的题；一份卷子通常 3-6 道

第 3 步（抽样）：
  对触发的每道题，抽 5-8 份学生答卷做七类判定（覆盖高中低三档）
  → 抽样比例与实际份数写进报告，不用抽样结果冒充全班计数

第 4 步（个体）：
  只对老师点名关注的学生（一般 3-5 人）做个体错因画像
  → 其余学生只保留通用四维标签

⚠️ 报告里凡是来自抽样的比例，必须写"抽样 N 份"；
   凡是来自全量的，写"全班 N 人"。两者不混用。
   样本 < 10 份时，只给方向不给百分比（置信度 🔴 样本不足，不写入长期档案）。

---

一、核心使命#

数学错因分析常见的三个误区：

text

误区① 错因=粗心：把所有错都归为"粗心"，
        错过就过，下次还错。

误区② 错题=个别：把错题归为"学员不认真"，
        没看到教学层面的问题。

误区③ 错题=补差：错题分析完就讲一遍，
        没有系统化、没有持续追踪。

本 SKILL 要解决的是：

• 让错因"具体化"：从"粗心"到七类具体错因，并映射到通用四维
• 让错题"关联化"：单个错题连到知识图谱
• 让分析"系统化"：班级共性 + 学员个体
• 让干预"精准化"：根据错因给具体建议

---

二、触发时机#

触发前提：手上有 具体的错题或作业/测评的作答数据。老师泛泛说"最近错得多""下次课讲什么"而没有题、没有数据时，先问"哪次作业/测评？能把错题或逐题得分发我吗"，不进入分析。

触发场景示例语句错题分析"这道题错得很多"学员错在哪"学员错在哪里"班级共性"班级共性错因"知识点掌握"哪个知识点没掌握"下次课讲什么"下次课讲什么"错因分类"学员错的原因"知识图谱"学员的知识漏洞"错题追踪"学员下次还错"

---

三、核心流程#

text

                ┌──────────────────────────┐
                │ ① 错题收集                │
                │  作业/试卷/课堂          │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ② 错因分类                │
                │  7 类错因                  │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ③ 知识图谱关联            │
                │  错题→知识点              │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ④ 班级共性画像            │
                │  + 学员个体画像           │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑤ 教学干预建议            │
                │  班级+个体                 │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │
                │  错因 DNA                 │
                └──────────────────────────┘

---

四、错因分类（7 类）#

4.1 错因总览#

词表以 shared/vocab.md §3 为唯一来源。

text

┌────────────────┬────────────────────────┬────────────┬──────────────────────┐
│ 错因（教师端七类）│ 描述                    │ 关键特征    │ 教学策略              │
├────────────────┼────────────────────────┼────────────┼──────────────────────┤
│ 知识漏洞        │ 缺前置知识              │ 前面单元内容│ 补前置                │
│ 规则错误        │ 公式/法则记错           │ 错得"有理"  │ 最小步骤拆解 + 正反例  │
│ 审题错误        │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 答非所问    │ 训练审题（圈关键词）   │
│ 策略错误        │ 方法选择不当            │ 解题思路错  │ 教策略选择 + 题组训练  │
│ 表达/书写不规范  │ 会做但过程分丢了        │ 答案对、扣分│ 过程分示范 + 评分说明  │
│ 计算错误        │ 列式对、算错            │ 过程对结果错│ 计算专项 + 估算验证    │
│ 习惯性失误      │ 漏写单位/跳步/不检验     │ 固定动作缺失│ **习惯与检查流程训练**  │
└────────────────┴────────────────────────┴────────────┴──────────────────────┘

⚠️ "习惯性失误"（原"粗心大意"）的干预是**习惯与检查流程训练**，不是"心理干预"。
   老师端不做心理诊断；学生出现情绪困扰时，按上面的危机例外或转学校心理老师。
⚠️ 不使用"粗心"作为原因——粗心是结果。记录时必须写清具体动作：漏写单位 / 跳步 / 未检验。

4.1.1 互斥判定规则（一道题只归一类）#

text

按顺序问，问到第一个"是"就定类，不再往下：
  ① 缺本单元以前学过的知识？ → 知识漏洞
  ② 法则/公式记错、用错？    → 规则错误（**不归计算错误**；本单元的概念、定理条件用错也归这一类）
  ③ 条件看错、抄错题？       → 审题错误（**不归习惯性失误**）
  ④ 方法选错？              → 策略错误
  ⑤ 方法对、过程写不全被扣分？→ 表达/书写不规范
  ⑥ 列式对、只是算错？       → 计算错误
  ⑦ 漏单位/跳步/不检验？     → 习惯性失误

高频争议：
  "移项不变号"     → 规则错误，不是计算错误
  "看错数字"       → 审题错误，不是习惯性失误
  "不等式乘负数没变号" → 规则错误

4.1.2 与通用四维的映射（写回学生端时必用）#

教师端七类用于精细化教学诊断；写回学生端或经 handover-protocol 交接时， basicDimension 只接受通用四维（概念模糊/计算失误/读题失误/方法用错）， 写入 classWorkspace.homeworkAssignments[].completionSummary.commonErrors[].dimension 同理。 未映射会被 schema 的 enum 校验拒绝。

text

教师端七类                        →  通用四维（basicDimension）
──────────────────────────────────────────────────────
知识漏洞 / 规则错误               →  概念模糊
计算错误 / 习惯性失误             →  计算失误
审题错误                          →  读题失误
策略错误 / 表达·书写不规范         →  方法用错

classWorkspace.errorTally 同时保留 teacherCategory（七类原值）与 dimension（映射后的四维）， 前者供教师本地报告使用，后者是跨端交接的公共码。

4.2 错因识别#

text

■ 本单元的概念没理解（按 4.1.1 第②问归规则错误；"概念模糊"是通用四维的名称，不是老师端七类之一）
  · 学员错得"很没把握"
  · 同一概念反复错
  · 学员自己说"我没懂"

■ 规则错误
  · 学员说"我记了公式但用错"
  · 错得"有理有据"（学员觉得自己对）
  · 法则、公式或定理的条件记错、用错

■ 审题错误
  · 答非所问
  · 漏看条件
  · 看错问题（求面积看成周长）

■ 策略错误
  · 解题方向错
  · 学员不知道"用哪个方法"
  · 复杂题不会拆

■ 表达/书写不规范
  · 答案对但过程分被扣
  · 证明题只写结论不写依据
  · 跳步，改卷老师接不上

■ 计算错误
  · 列式对，结果错
  · 学员自己一看就能"指出来错了"
  · 化简、通分、开方一类的运算出错

■ 习惯性失误
  · 誊抄自己的中间结果时写错
  · 漏写单位、漏写答句
  · 做完不检验（方程不代回、几何不复核图）
  · 注意：**抄错题目、看错数字归审题错误**，不归这一类

■ 知识漏洞
  · 缺前置知识
  · 学员听不懂讲解
  · 不是本单元的内容，是前面单元（或前一学段）的内容

4.3 错因溯源#

text

■ 第一层：表面错因
  · 学员做错了

■ 第二层：错因分类
  · 7 类之一

■ 第三层：根因
  · 概念模糊 → 是哪个概念？
  · 规则错误 → 是哪个规则？
  · 知识漏洞 → 是哪个前置？

■ 第四层：教学原因
  · 教法问题？
  · 学员基础问题？
  · 复习问题？

---

五、知识图谱关联#

5.1 知识点体系#

text

小学：
  数与代数：整数/分数/小数/百分数/比/比例
  图形与几何：平面图形/立体图形/周长/面积/体积
  统计与概率：统计表/统计图/概率

初中：
  数与式：有理数/整式/分式/二次根式
  方程与不等式：方程/不等式/方程组
  函数：一次函数/反比例函数/二次函数
  图形：三角形/四边形/圆/相似/全等
  统计：数据/概率/统计

高中·高一衔接段（必修主题一、二，见第十三节）：
  预备知识：集合/常用逻辑用语/等式与不等式/从函数观点看一元二次方程与不等式
  函数：函数概念与性质/幂函数、指数函数、对数函数/三角函数/函数应用

高中·必修后半（必修主题三、四，见第十四节，⚠高中）：
  几何与代数：平面向量及其应用/复数/立体几何初步（⚠高中）
  概率与统计：概率/统计（⚠高中）

高中·选择性必修（见第十四节，⚠高中）：
  函数：数列/一元函数导数及其应用（⚠高中）
  几何与代数：空间向量与立体几何/平面解析几何（⚠高中）
  概率与统计：计数原理/概率/统计（⚠高中）

定位错题：初中班在"初中"一栏取知识点，高中班按已学的模块在对应的高中栏取； 落在小学栏说明是前置知识漏洞；选修课程（A～E 类）的错题只做七类归类与四维映射， 不做知识图谱定位。

5.2 错题-知识点关联样板#

📎 完整模板见 references/error-knowledge-link-template.md（错题-知识点关联填写样板：错题/关联知识点/错因定位三段）

5.3 知识点热力图#

数据来源： classWorkspace.itemScores[] 逐题得分（只有总分时不能生成本图）。 "掌握度"= 该知识点相关题目的班级平均得分率。

text

┌──────────────────────────────┐
│ 班级知识点热力图（初二·样例）  │
├──────────────────────────────┤
│ 知识点        │ 得分率        │
├──────────────────────────────┤
│ 整式运算      │ 🟢 88%        │
│ 因式分解      │ 🟡 62%        │
│ 分式化简      │ 🔴 35%        │
│ 一次函数图像  │ 🟡 66%        │
│ 全等三角形判定│ 🔴 40%        │
│ 勾股定理应用  │ 🟡 70%        │
│ 数据的集中趋势│ 🟢 80%        │
└──────────────────────────────┘
  🟢 > 70%   🟡 40-70%   🔴 < 40%

⚠️ 上表的百分数是**本班本次测评算出来的**，不是通用参考值。
   样本 < 20 人时，在图下注明"样本 N 人，仅供本次参考"。
   掌握度档位与学生端三档（会复述/会解释/真正掌握）不是一回事，
   跨端交换时按 shared/vocab.md §6 转换。

---

六、班级共性画像#

6.1 班级共性错因报告#

📎 完整模板见 references/class-error-report-template.md（班级错因分析报告：总体/错因分布/TOP 3 错因/知识图谱弱项/教学建议）

6.2 班级画像维度#

text

┌──────────┬────────────────────────┐
│ 维度      │ 描述                    │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 整体水平  │ 班级平均分/中位数       │
│ 错因分布  │ 7 类错因的比例          │
│ 知识图谱  │ 班级知识点掌握热力图   │
│ 进度      │ 班级整体进度            │
│ 互动      │ 班级参与度/活跃度       │
└──────────┴────────────────────────┘

---

七、学员个体画像#

7.1 学员错因档案#

📎 完整模板见 references/student-error-profile-template.md（学员个体错因档案：错因分布/主导错因/知识图谱/错题进化趋势）

7.2 学员错因追踪#

text

口径按 `shared/vocab.md §5` 的**学校班级**规则：`classWorkspace.weaknessRank[].stubbornCount`
由 `xiaozhi-teach-student-analyzer` 唯一累加，本 SKILL 不自行累加；粒度为"同一知识点 + 同一通用四维"，
记的是**近 4 次测评中错误率 >30% 的次数**。

text

■ 学情分析师已判为顽固（同一知识点 + 同一维度，近 4 次测评中 3 次）→ 顽固弱项
  · 启动专项干预
  · 设计针对性训练

■ 学情分析师已判为高危（近 4 次测评 4 次都达到顽固条件，shared/vocab.md §5）→ 高危
  · 与学生本人先沟通策略
  · 是否告知家长依授权位（shared/vocab.md §8）：
    先查 parentSharingConsent；涉及情绪内容再查 emotionSharingWithParent
  · 不默认推送家长

■ 两次独立验证做对（间隔 ≥3 天，含 1 次换题型）→ 已攻克
  · 状态用五档：待处理/初步弱项/顽固弱项/突破中/已攻克
  · 不用"错因消失/已解决"这类说法

---

八、教学干预建议#

8.1 班级层面#

text

┌──────────┬────────────────────────┐
│ 错因      │ 干预建议                │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 知识漏洞  │ 补前置+回顾旧知         │
│ 规则错误  │ 最小步骤拆解+正反例对比 │
│ 审题错误  │ 训练审题+关键词勾画     │
│ 策略错误  │ 教策略选择+题组训练     │
│ 表达不规范│ 过程分示范+评分标准公开 │
│ 计算错误  │ 计算专项+估算验证       │
│ 习惯性失误│ 习惯与检查流程训练      │
└──────────┴────────────────────────┘

> 习惯性失误的干预是**把检查动作写进解题流程**（设→列→解→检验→答），
> 不是"心理干预"，也不是加压。老师端不做心理诊断。

8.2 学员个体#

text

┌──────────┬────────────────────────┐
│ 错因      │ 个体干预                │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 知识漏洞  · 补前置                 │
│ 规则错误  · 规则默写+当场复述依据   │
│ 审题错误  · 训练画关键词           │
│ 策略错误  · 教方法框架             │
│ 表达不规范· 按评分点逐条对照改写    │
│ 计算错误  · 限时计算+回代验算       │
│ 习惯性失误· 五步答题模板 + 检验清单 │
└──────────┴────────────────────────┘

8.3 干预样板#

📎 完整模板见 references/intervention-report-template.md（教学干预建议样板：诊断/班级干预/个体干预/时间安排/评估）

本 SKILL 的讲评建议只到每类错因怎么讲；整节讲评课的环节、时间与例题变式转数学教案设计（xiaozhi-teach-math-lesson-planner），它读本 SKILL 写入的弱项排序。

---

九、与上游/下游 SKILL 的协作#

9.1 协作流图#

text

              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  assignment-designer   │
              │ （作业批改的共性错因） │
              └───────────┬────────────┘
                          │
                          ↓
              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  math-error-analyzer   │
              │  （本 SKILL）          │
              └───────────┬────────────┘
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        ↓                 ↓                 ↓
  student-analyzer  lesson-planner   resource-library
  （错因 DNA）     （教学干预计划）  （错题案例库）

9.2 接口（唯一契约： shared/class-teaching-workspace.schema.json）#

text

读：
  classWorkspace.homeworkAssignments[] 的 completionSummary › commonErrors[]
      （knowledgePoint / dimension / teacherCategory / count）→ 作业错题
  classWorkspace.itemScores[]（examId / studentAlias / itemNo / score / maxScore）
      → 试卷逐题得分，热力图与错误率的唯一来源
  classWorkspace.itemStats[]（pValue / dValue / groupingMethod / flag）
      → 每题难度与区分度，用于判断"是学生不会还是题目有问题"
  classWorkspace.examBlueprints[].items[]（knowledgePoint / cognitiveLevel / difficultyBand）
      → 题目考查什么，用于把错题挂到知识点
  classWorkspace.classProfile（gradeBand / classSize / fullScore）→ 学段与换算基准

写（生成待确认条目，老师确认后落库）：
  classWorkspace.weaknessRank[]
    .weaknessId / .knowledgePoint / .errorRate
    .dimension（通用四维）/ .evidenceExamIds[] / .lastUpdated
    （不写 .stubbornCount——顽固计数由 xiaozhi-teach-student-analyzer 唯一累加；
      两处都累加会把“近 4 次错 3 次”判错）
  classWorkspace.homeworkAssignments[] 的 completionSummary › commonErrors[]
    knowledgePoint / dimension（四维）/ teacherCategory（七类）/ count
    （只写数学作业条目；作业设计师已写的条目只补七类，不覆盖它写的计数）
  （不写 classWorkspace.studentTiers[]——A/B/C 分层由
    xiaozhi-teach-student-analyzer 唯一维护，本 SKILL 只读不写；
    需要更新分层时把错因分布交接给它，不自行判定“谁在哪一层”）
  classWorkspace.interactionLogs[].misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误
  → 供 xiaozhi-teach-math-lesson-planner 读 weaknessRank 设计下节课
  → 供 xiaozhi-teach-math-exam-designer 读 weaknessRank 组卷

写回学生端档案：只走 handoverType: "teacher_writeback"，payload 为 teacherWritebackData （ teacherSkill / studentAlias / weakKnowledgePointUpdates[] / note）。 发送前必须核对 meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true；为 false 时 丢弃并告知老师 "该学生未授权写回，本次分析只留在班级工作空间"。 weakKnowledgePointUpdates[].status 用五档， masteryLevel 用学生端三档（ shared/vocab.md §6）。 note 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。

给家长的内容：本 SKILL 不直接生成；学校班级交 xiaozhi-teach-student-analyzer 出家长版，独立教师交 xiaozhi-teach-parent-communication， 由它们核对 parentSharingConsent（含情绪内容再核对 emotionSharingWithParent）后输出。不默认推送家长简报。

---

十、字段级高敏信息防护#

text

✅ 错因档案用化名（studentAlias）
✅ 班级画像用编号
✅ 讲评投影原卷先遮住姓名、学号与分数，字迹同学认得出的改用老师誊写的，原卷和作答也不拍照发到群里
❌ 禁止：公开"某学员的错题"
❌ 禁止：未授权公开"班级排名"
✅ 错因可入库（脱敏后）
✅ 写回学生档案前核对 teacherWritebackConsent

---

十一、行为准则#

✅ 应该做❌ 不能做错因分七类并映射四维把错因笼统记成"粗心"关联知识图谱错题=个别问题班级+个体双画像只看个别持续追踪一次分析就完事教学干预建议错题=补差学员化名公开学员错题

---

十二、与其他 SKILL 的协同清单#

text

班级错因分析
    <── xiaozhi-teach-assignment-designer（作业批改的共性错因）
    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学员错因）
    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（教学计划）
    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（错因 DNA）
    ──→ xiaozhi-teach-lesson-planner（教学干预计划）
    ──→ xiaozhi-teach-math-lesson-planner（错因与讲评建议 → 讲评课）
    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错题案例库）
    ──→ 学生端 xiaozhi-math-error-dna（学员视角）

禁止行为：

• 禁止 AI 替学员分析错因（学员自评+老师诊断）
• 禁止 AI 给学员排名
• 禁止 AI 替老师下教学决策（只提供建议）
• 禁止公开学员真实姓名+错题
• 禁止把错因简单归为"粗心"（粗心是结果不是原因，须写清具体动作）
• 禁止对"习惯性失误"开心理干预处方（老师端不做心理诊断）

---

十三、高中：高一衔接段的班级错因#

依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题一"预备知识"与主题二"函数"。阈值触发与抽样（错误率 > 30% 的题）、七类互斥判定（4.1.1）、与通用四维的映射（4.1.2）都与初中相同；定位知识点时用第五节"高中·高一衔接段"一栏。

高一常见的共性错误按 4.1.1 归到讲评与干预建议题目给了定义域或取值范围，没读到审题错误讲评时先让学生圈出范围条件，再动笔求定义域只看根号、漏了分母（不知道分式有意义的条件，是初中的内容）知识漏洞补分式、根式有意义的条件，配一组定义域题组认为解析式相同就是同一个函数规则错误回到构成函数的要素（定义域、对应关系），配一组定义域题组属于与包含混用；充分条件与必要条件说反规则错误用学过的初中命题做正反例对照指数幂、对数的运算性质记错；诱导公式的符号错；一元二次不等式的解集写反（只考这条规则的纯净版小题也做错；纯净版做对、只在综合题里错的归计算错误）规则错误最小步骤拆解 + 正反例；诱导公式借助单位圆的对称性推导（课标案例 6），解不等式先画函数图像（课标案例 1）用基本不等式求最值不检查等号能否取到；应用题的函数类型选错策略错误题组对比：等号能取到与取不到各一题；按变化规律选函数类型用定义证明单调性，步骤写不全被扣分表达/书写不规范示范"取值—作差—变形—定号—结论"的完整书写弧度与角度混用规则错误（本单元的弧度制没理解；到后面的主题里才暴露的，归知识漏洞）回到弧度的定义：用半径量弧（课标案例 3）

干预建议可用化名或座号，给全班看的讲评材料只用化名（讲评投影原卷先遮住姓名、学号与分数，字迹同学认得出的改用老师誊写的，原卷和作答也不拍照发到群里），写回学生端仍按 4.1.2 映射成通用四维。必修后半与选择性必修的班级错因见第十四节。

---

十四、高中：必修后半与选择性必修的班级错因#

依据《普通高中数学课程标准日常修订版（2017 年版 2025 年修订）》必修主题三"几何与代数"、主题四"概率与统计"，以及选择性必修的"函数""几何与代数""概率与统计"三个主题。阈值触发与抽样、七类互斥判定（4.1.1）、与通用四维的映射（4.1.2）都与初中相同；定位知识点时用第五节的"高中·必修后半""高中·选择性必修"两栏。知识漏洞只用于缺本单元以前学过的知识（4.1.1 第①问）；本单元的概念、定理条件用错，按第②问归规则错误。同一类错误有两种可能时，先像学生端那样问一句再定类，下表把两种情况分开写。学业水平考试考必修，高考考必修与选择性必修；只备学业水平考试的班级，讲评时不引入选择性必修的方法（如用空间向量证明位置关系）。

常见的共性错误按 4.1.1 归到讲评与干预建议把数量积当成向量、随手约去；夹角为钝角时没排除反向共线规则错误用反例对照（两个非零向量垂直，数量积也是 0）；借助课标案例 9 向量投影建立几何直观已知两边和其中一边的对角，只取了一个解知识漏洞（不知道 sin B = √3/2 在 (0, π) 内对应两个角，是前一个主题三角函数的内容）或规则错误（知道、却没用"大边对大角"检验）以 C 为圆心画弧，演示交点个数；"两解、一解、无解"各配一题已知两边及其夹角（或三边）时想不到余弦定理，绕路或卡住；边角互化的方向不对策略错误按已知条件选定理的对应表 + 题组对比立体几何说理漏写"在平面外""两条相交直线"规则错误（问起来也说不出条件）或表达/书写不规范（知道条件，只是漏写）示范判定定理的完整书写；必修阶段判定定理只要求直观感知、操作确认，扣分标准先向学生讲清锥体体积漏乘 1/3、把高当母线（只考这条公式的纯净版小题也做错；纯净版做对、只在组合体里错的归计算错误）规则错误倒水实验或课件演示；圆锥侧面展开图样本点列得不等可能；互斥与独立混用规则错误回到古典概型的两个特征和独立性的定义（课标案例 12 投掷骰子问题）"有放回""不放回""至少""恰有"读错审题错误讲评先圈限定词，再列样本空间频率分布直方图把高当成频率规则错误强调面积才是频率；配组距不同的对比题由 Sₙ 求 aₙ 漏了 n = 1；等比数列求和漏了 q = 1规则错误把适用条件写进公式卡；"a₁ 满足通项"与"不满足"各配一题求导法则用错（积、商、f(ax + b)）规则错误最小步骤拆解 + 正反例；纯净版做对、只在长式子里错的归计算错误导数为 0 就当极值点；把极值当成最值规则错误用 y = x³ 的图像、区间端点的例子对照含参单调性分类不全；恒成立不会转化为最值策略错误示范"定义域—求导—找分类标准—逐类讨论—总结"的流程；恒成立与能成立各配一题建系前没有说明三条直线两两垂直表达/书写不规范（其实垂直、没写理由）或策略错误（根本不垂直就建系）示范建系的说理；与综合法对比（课标：灵活选择向量方法与综合几何方法）线面角用成了余弦；二面角不判断锐钝规则错误画出方向向量、法向量与平面的关系图设直线漏了斜率不存在；联立后不检验判别式规则错误（问起来也说不出斜率不存在的直线写不成 y = kx + m）或策略错误（说得出、设直线时仍漏了，或联立后不检验判别式）示范"设线—联立—判别式—根与系数的关系—代入"的完整流程平均分组时没有除以组数的阶乘规则错误（问"把这两组对调，算不算新的分法"也答错）用小数据列举验证：4 本书平均分成两堆只有 3 种相邻与不相邻不会捆绑、插空，分类分步混乱策略错误捆绑、插空各配一题，先安排特殊元素或特殊位置条件概率与积事件的概率混淆；二项分布与超几何分布混用规则错误用"样本空间缩小"的图示；有放回与不放回对比相关当因果；以为 r 接近 0 就没有关系；把回归预测值当成确定值规则错误（问起来也这样认为）用 y = x²（r = 0）等反例对照独立性检验的结论写成"一定有关"，但问起来说得清推断可能犯错表达/书写不规范示范结论的规范表述（以学生所用教材为准）

学生端对应的错因子类型见数学错误DNA 维度表第十、十一节（老师端不直接写子类型，写回时只用通用四维）。干预建议可用化名或座号，给全班看的讲评材料只用化名，投影原卷先遮住姓名、学号与分数，字迹同学认得出的改用老师誊写的，原卷和作答也不拍照发到群里。选修课程（A～E 类）的错题只做七类归类与四维映射，不做知识图谱定位。

---

十五、参考资源#

• references/error-classification-rubric.md — 错因分类细则（7 类错因 + 评分模板）
• references/knowledge-map-template.md — 知识图谱模板（4 层结构 + 学员个人版）
• references/intervention-design.md — 教学干预设计模板（识别/诊断/干预/跟踪）
• references/error-knowledge-link-template.md — 错题-知识点关联填写样板
• references/class-error-report-template.md — 班级共性错因报告模板
• references/student-error-profile-template.md — 学员错因档案模板
• references/intervention-report-template.md — 教学干预建议样板

---

💡 小智说： "错题不是学员的'耻辱'， 是教学的'指南针'。 学员错一次不可怕， 错三次还在同地方才是问题—— 那就要问问，到底是'学员不会'， 还是'我教不会'。"