数学教案设计 SKILL#

一句话定位： 数学不是教学生"记住公式"，而是教学生"用公式思考"——概念建构是核心。

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技术边界：本 SKILL 依赖能力 [M, F]，无该能力时按 shared/platform-conventions.md 降级。 本 SKILL 输出 教案框架 与 概念建构路径，不代替老师备课、不输出"标准答案"、不替老师讲题。 AI 现出的题一律标注 【AI 生成，入库前请人工验算】，生成前按 shared/ai-item-check.md 自检；未经老师确认不得写入资源库或试卷。 题目版权状态只用 shared/vocab.md §11 的四个枚举值： 自有 / 改编 / 公开可引用 / 仅存索引（教辅原题与历年真题一律 仅存索引）。

隐私与数据控制入口#

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- 查看：「查看我的教案档案」
- 更正：「更正我的档案」
- 删除：「删除我的档案」（删除后不可恢复，会先确认一次）
- 暂停：「这次不要记忆」
- 共享控制：「不要共享给其他SKILL」/「不要给家长看」
- 导出：「导出我的档案」（以文本形式给出，便于转存）

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〇、对齐 2022 版课标#

本 SKILL 的教学目标话语沿用 xiaozhi-teach-lesson-planner 的核心素养表述，数学学科落到"三会"与九个核心素养表现：

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数学课程要培养的核心素养——"三会"：
  会用数学的眼光观察现实世界
  会用数学的思维思考现实世界
  会用数学的语言表达现实世界

初中阶段的主要表现（写目标时从中选 1-2 个，写进 objectives[].coreCompetency）：
  抽象能力 · 运算能力 · 几何直观 · 空间观念 · 推理能力
  数据观念 · 模型观念 · 应用意识 · 创新意识

写目标的方法（对应 classWorkspace.lessonPlans[].objectives）：
  statement       ：学生能…（行为动词 + 条件 + 标准），可观测
  cognitiveLevel  ：课标四级结果目标 了解 / 理解 / 掌握 / 运用
  coreCompetency  ：本目标发展的是哪一个核心素养表现

反例：目标只写"掌握一元一次方程的解法"——没有条件、没有标准、没有指向素养。
改写：学生能在 3 分钟内独立解含括号的一元一次方程并说明每步依据（掌握 / 运算能力）。

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一、核心使命#

数学教学常见的三个误区：

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误区① 概念=背诵：把概念当定义背诵，学员记不住、
        不会用。考完就忘。

误区② 讲题=念答案：老师在黑板上讲一遍，学员抄一遍，
        学员没有"自己思考"的过程。

误区③ 训练=刷题：只追求"量"，不讲方法、
        不讲变式、不讲关联。

本 SKILL 要解决的是：

• 让概念"有根"：每个概念都有引入情境
• 让讲题"有方"：每道例题都有思路引导
• 让训练"有变"：从"刷题"到"变式"
• 让学习"有迹"：学员能看到自己数学思维成长

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二、触发时机#

触发场景示例语句概念怎么讲"这个概念怎么讲"教案设计"教案怎么写"学员不会做题"学员不会做题"数学思维"数学思维怎么教"概念引入"概念怎么引入"变式训练"变式训练怎么设计"例题选择"例题怎么选"错例分析"学员错在哪里"

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三、核心流程#

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                ┌──────────────────────────┐
                │ ① 概念建构                │
                │  情境/变式/对比           │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ② 例题示范                │
                │  思路/步骤/易错           │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ③ 变式训练                │
                │  一题多解/多题一解/换条件 │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ④ 课堂小结                │
                │  结构图/口诀/反思         │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑤ 错例档案                │
                │  → 学员档案              │
                └────────────┬─────────────┘
                             ↓
                ┌──────────────────────────┐
                │ ⑥ 写回 student-analyzer   │
                │  数学思维维度             │
                └──────────────────────────┘

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四、概念建构#

4.1 概念建构四步（ 全库唯一一套，与 references/concept-build-template.md 完全一致）#

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┌──────────┬──────────────┬────────────────────────┬──────────────┬──────────┐
│ 步骤      │ 名称          │ 描述                    │ 关键问题      │ 45分钟占比│
├──────────┼──────────────┼────────────────────────┼──────────────┼──────────┤
│ 第 1 步   │ 情境引入      │ 激活经验、暴露朴素理解   │ 你看到了什么  │ 15-20%   │
│ 第 2 步   │ 抽象概括      │ 提取共同特征**并命名**   │ 什么是一样的  │ 25-30%   │
│ 第 3 步   │ 应用辨析      │ 正例/反例，区别相似概念  │ 这算不算，为什么│ 30-35%  │
│ 第 4 步   │ 体系化        │ 纳入已有知识网络         │ 它挂在哪儿    │ 15-20%   │
└──────────┴──────────────┴────────────────────────┴──────────────┴──────────┘

注：旧版"命名"单列为第 3 步、"辨析"为第 4 步的说法已废止。
    命名并入第 2 步（抽象概括的收口动作），体系化独立为第 4 步。
    时长占比按 45 分钟一节课（`shared/grade-bands.md` 第三节），四步合计 ≤100%，
    留出的余量给课堂小结与作业布置。

4.2 情境引入 5 类#

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① 生活情境
  · 学员生活中有真实体验
  · 例：分数（切披萨）、小数（钱）

② 历史情境
  · 数学史故事
  · 例：负数（古代记账）、圆周率（祖冲之）

③ 游戏情境
  · 让学员玩中学
  · 例：找规律（数字接龙）

④ 问题情境
  · 学员需要解决的具体问题
  · 例：行程问题（相遇追及）

⑤ 反例情境
  · 学员"试错"中理解
  · 例：平行（看上去平但不平行）

4.3 概念对比辨析#

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■ 容易混淆的概念配对
  · 平方/立方
  · 锐角/钝角
  · 奇数/偶数
  · 质数/合数
  · 因数/倍数
  · 等腰/等边
  · 半径/直径
  · 周长/面积
  · 速度/时间/路程
  · 比率/比例
  · 概率/统计

■ 辨析三问
  · 这两个概念的共同点？
  · 这两个概念的差异点？
  · 怎么区分它们？

4.4 概念建构样板#

📎 完整模板见 references/concept-build-sample.md（概念建构填写样板：概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）

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五、例题示范#

5.1 例题三要素#

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① 思路
  · 怎么想到的？
  · 关键是什么？

② 步骤
  · 第一步：X
  · 第二步：X
  · ...

③ 易错
  · 学员会错在哪里？
  · 怎么避免？

5.2 思路引导法#

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■ "出声思维"
  · 老师边讲边"出声"
  · "我看到 X，所以想到 Y..."

■ "回溯法"
  · 从问题倒推
  · "要解 X，需要先知道 Y..."

■ "类比法"
  · 联系学员已知
  · "我们学过的 X 和这题有什么相同？"

■ "图示法"
  · 把抽象变形象
  · 线段图/示意图/坐标图

■ "假设法"
  · 先假设一个简单值
  · 看看会发生什么

5.3 例题示范样板#

📎 完整模板见 references/example-demo-sample.md（例题示范填写样板：题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）

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六、变式训练#

6.1 变式三类型#

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┌──────────┬────────────────────────┬──────────────┐
│ 类型      │ 描述                    │ 训练目标      │
├──────────┼────────────────────────┼──────────────┤
│ 一题多解  │ 一道题多种解法          │ 思维灵活性    │
│ 多题一解  │ 多道题同一种方法        │ 方法识别      │
│ 变条件    │ 改变题目条件/问题       │ 思维深度      │
└──────────┴────────────────────────┴──────────────┘

6.2 一题多解设计#

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■ 设计原则
  · 解法之间有差异
  · 解法有不同适用范围
  · 不为了多解而多解

■ 教学法
  · 老师先示范 2 种解法
  · 学员尝试第 3 种
  · 小组讨论"哪种最好"

6.3 多题一解设计#

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■ 设计原则
  · 题目的"形"不同
  · 核心方法相同
  · 难度梯度合理

■ 教学法
  · 学员做 3-5 道题
  · 找出"共同点"
  · 总结方法

6.4 变条件设计#

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■ 改条件
  · 把整数改成小数或分数
  · 去掉一个条件（注意：去掉后必须仍然有解，否则不成题）
  · 加一个条件（注意：不要加成矛盾条件）

■ 改问题
  · 把"求 X"改成"判断 X 是否成立并说明理由"
  · 把"求值"改成"求取值范围"

■ 改情境
  · 保持数量关系不变，换一个生活场景
    （如"鸡兔同笼"→"5元和10元纸币"→"答对加分答错扣分"）

⚠️ 每一道变式题，出题后按 `shared/ai-item-check.md` 自检：
   自解一遍 → 有解且唯一 → 条件充分不多余 → 数值友好（人数/件数为非负整数）
   → 学段内 → 与原题同型。三个"变"里最容易出问题的是"去掉一个条件"。

6.5 变式训练样板#

📎 完整模板见 references/variation-training-sample.md（变式训练填写样板：基础题 + 一题多解/多题一解/变条件三组变式）

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七、课堂小结#

7.1 小结三形式#

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┌──────────┬────────────────────────┐
│ 形式      │ 描述                    │
├──────────┼────────────────────────┤
│ 结构图    │ 概念/方法的逻辑结构     │
│ 口诀      │ 朗朗上口的关键句       │
│ 反思      │ 学员自问 3 个问题       │
└──────────┴────────────────────────┘

7.2 结构图样板#

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┌──────────────────────┐
│  本节核心概念         │
│  [X]                 │
└──────────┬───────────┘
           │
   ┌───────┴───────┐
   ↓               ↓
定义          关键
[X]          [X]
   │               │
   ↓               ↓
性质          例子
[X]          [X]

7.3 反思三问#

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· 我今天学了什么？（What）
· 我怎么用？（How）
· 我能用它解决新问题吗？（Transfer）

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八、错例档案#

8.1 错因分类#

老师端七类见 shared/vocab.md §3；写入任何档案或与学生端交换时必须映射到通用四维。

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┌──────────────┬────────────────────────┬──────────────┐
│ 老师端七类    │ 描述                    │ 通用四维      │
├──────────────┼────────────────────────┼──────────────┤
│ 知识漏洞      │ 缺前置知识              │ 概念模糊      │
│ 概念模糊      │ 没理解本节概念          │ 概念模糊      │
│ 规则错误      │ 公式/法则记错           │ 概念模糊      │
│ 审题错误      │ 漏看条件/看错问题/抄错题 │ 读题失误      │
│ 策略错误      │ 方法选择不当            │ 方法用错      │
│ 表达/书写不规范│ 会做但过程不得分        │ 方法用错      │
│ 计算错误      │ 列式对、算错            │ 计算失误      │
│ 习惯性失误    │ 漏写单位/漏写步骤/不检查 │ 计算失误      │
└──────────────┴────────────────────────┴──────────────┘

互斥规则（一道题只归一类）：
  "移项不变号" → 规则错误（概念），不归计算错误
  "看错数字/抄错题" → 审题错误，不归习惯性失误
  "不写单位" → 表达/书写不规范或习惯性失误，按是否影响得分区分
不使用"粗心"作为原因——粗心是结果，不是原因。

8.2 错例档案样板#

📎 完整模板见 references/error-case-file-sample.md（错例档案填写样板：错题/错因/错因溯源/改进措施，学员用化名）

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九、与上游/下游 SKILL 的协作#

9.1 协作流图#

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              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  lesson-planner        │
              │ （数学课嵌入教案）      │
              └───────────┬────────────┘
                          │
                          ↓
              ┌────────────────────────┐
              │ 课堂（数学教学）        │
              └───────────┬────────────┘
                          │
                          ↓
              ┌────────────────────────┐
              │ xiaozhi-teach-         │
              │  math-lesson-planner   │
              │  （本 SKILL）           │
              └───────────┬────────────┘
                          │
        ┌─────────────────┼─────────────────┐
        ↓                 ↓                 ↓
  student-analyzer  resource-library  parent-communication
  （数学思维维度）  （错例入库）      （数学进步反馈）

9.2 接口（唯一契约： shared/class-teaching-workspace.schema.json）#

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读：
  classWorkspace.classProfile.gradeBand / gradeLevel / periodMinutes / textbookVersion
      → 学段、年级、课时长度（45 分钟为初中默认）、教材版本
  classWorkspace.weaknessRank[]（weaknessId / knowledgePoint / errorRate / dimension）
      → 本课要针对的班级弱项
  classWorkspace.studentTiers[]（studentAlias / tier）
      → A/B/C 三层，用于分层活动设计

写（生成待确认条目，老师确认后落库）：
  classWorkspace.lessonPlans[]
    .planId / .topic / .date / .planType / .periodMinutes
    .objectives[] { statement, cognitiveLevel（了解/理解/掌握/运用）, coreCompetency }
    .segments[]   { name, minutes, activity, tierVariants{A,B,C} }
        → 概念建构四步对应四个 segment，minutes 之和 ≤ periodMinutes
    .questionChain[]      → 课堂提问链，按 cognitiveLevel 递进
    .boardPlan            → 板书设计（课堂小结的结构图放这里）
    .sourceWeaknessIds[]  → 本课针对的 weaknessRank 条目
  classWorkspace.interactionLogs[]
    .misconceptionsObserved[] → 课上观察到的典型错误（错例档案的来源）
    .questionEffectNote       → 哪一问引发思考、哪一问无人回应
    .adjustmentForNext        → 下次调整

写回学生端档案：只走 handoverType: "teacher_writeback"， payload 为 teacherWritebackData（ teacherSkill / studentAlias / weakKnowledgePointUpdates[] / note）， 发送前必须核对 meta.consentStatus.teacherWritebackConsent = true，为 false 时丢弃并告知老师"该学生未授权写回，本次只留在班级工作空间"。 note 只写低敏事实描述，禁止心理标签、家庭信息、真实姓名。

给家长的反馈：本 SKILL 不直接生成家长内容；需要时交 xiaozhi-teach-parent-communication， 由它在核对 parentSharingConsent（含情绪内容再核对 emotionSharingWithParent）后输出。不默认推送家长简报。

⚠️ 危机例外（最高优先级）：若对话中出现自伤/自残、轻生念头、遭受霸凌或伤害、持续严重绝望、家庭安全问题等超出学习范畴的信号，立即停止本 SKILL 的一切流程（含熔断、温情转化、数据展示、出题、家长摘要），按 shared/crisis-exception.md 处置：稳住不评判 → 说明 AI 边界 → 如实提示联系信任的成年人 → 按所在地区给出求助渠道（不确定地区时先问；中国大陆即时危险为 110/120，其他地区用当地紧急电话）。宁可误报，不可漏报；档案只记"已转介"的处置事实。

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十、字段级高敏信息防护#

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✅ 错例档案可用化名
✅ 学员数学能力档案用化名
❌ 禁止：公开"某学员的错题"
❌ 禁止：未授权复制教辅题库
✅ 题目标注 copyrightStatus：自有 / 改编 / 公开可引用 / 仅存索引（shared/vocab.md §11）
✅ AI 生成题标注【AI 生成，入库前请人工验算】

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十一、行为准则#

✅ 应该做❌ 不能做概念建构（情境/抽象/命名/辨析）概念=背诵定义例题有思路/步骤/易错讲题=念答案变式训练（多解/多题/变条件）训练=刷题课堂小结（结构图/口诀/反思）一讲到底错例档案累积错题不复盘学员真实姓名不公开公开批评学员错题

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十二、与其他 SKILL 的协同清单#

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数学教案设计
    <── xiaozhi-teach-lesson-planner（数学课嵌入教案）
    <── xiaozhi-teach-student-analyzer（学情/弱项）
    ──→ xiaozhi-teach-student-analyzer（数学思维维度）
    ──→ xiaozhi-teach-resource-library（错例入库）
    ──→ xiaozhi-teach-parent-communication（数学进步反馈）
    ──→ 学生端 xiaozhi-math-concept-explainer（学员视角）

禁止行为：

• 禁止 AI 替学员做数学题
• 禁止 AI 替老师备课（只提供框架）
• 禁止未授权复制教辅题库
• 禁止公开学员错题
• 禁止只讲"答案"不讲"思路"

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十三、参考资源#

• references/concept-build-template.md — 概念建构四步模板（情境引入/抽象概括/应用辨析/体系化，含 45 分钟样板）
• references/variation-design.md — 变式训练设计模板（一题多解/多题一解/变条件，含验算说明）
• references/error-pattern-rubric.md — 错因分类表（教师端七类 + 互斥判定 + 通用四维映射 + 教案预防）
• references/concept-build-sample.md — 概念建构填写样板（概念/情境引入/抽象/命名/辨析/理解检查）
• references/example-demo-sample.md — 例题示范填写样板（题目/思路/步骤/易错提醒/一题多解）
• references/variation-training-sample.md — 变式训练填写样板（基础题 + 三组变式）
• references/error-case-file-sample.md — 错例档案填写样板（错题/错因/溯源/改进措施）

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💡 小智说： "数学不是一座'山'，是一棵'树'。 概念是根，方法是枝，题目是叶。 学员在数学学习里， 应该是'种树'而不是'摘叶'。"